ЗАДАЧІ НА ПОБУДОВУ

ЗАДАЧІ НА ПОБУДОВУ (ДОСТАТНІЙ ТА ВИСОКИЙ РІВЕНЬ)

1.     Побудуйте трикутник ABC за кутом А і висотами h_b і h_c.

Розв'язання

Побудуємо прямокутний три­кутник АН₂В з катетом ВН₂ = h_b і гострим кутом А. Дістанемо сто­рону АВ. Потім будуємо прямо­кутний трикутник АСН_г з гострим кутом А і катетом  СН₃ = h_c. Діста­немо сторону АС. Трикутник ABC — шуканий.

2.     Побудуйте, циркулем і лінійкою трикутник за двома даними сторонами a і b (b > a), якщо відомо, що кут проти однієї з них втричі більший від кута проти другої.

Розв'язання

Припустимо, що трикутник ABC по­будовано, B=3A. Проведемо з точки В до прямої АС відрі­зок BE такий, що ABE = BAC. Тоді трикутник ВСЕ буде рівнобедреним, тому  АЕ = ВЕ. Трикутник ВСЕ також рівнобедрений, оскільки BEC = CBE = 2 BAC, тому ВС = СЕ = а. Отже, АЕ = ЕВ = b–а, оскільки АС = b.

У трикутнику ВСЕ СВ = СЕ – а, ЕВ = b – а, тому його можна побудувати, користуючись циркулем і лінійкою. Після цього на продовженні сторони СЕ відкладемо відрізок ЕА = b – а. Трикутник ABC — шуканий.

3.     Нехай а, b, с — довжини даних відрізків. Побудуйте відрізок: а) ; б) .

Розв'язання

а) На різних сторонах кута відкладемо   відрізки   АВ = с, BD = b,   AC = a.    Проведемо пряму DE, паралельну прямій ВС. Тоді відрізок СЕ — шука­ний: .

б) На прямій MN відкла­даємо відрізки АС = а, ВС = b. На відрізку АВ як на діаметрі будуємо півколо і проводимо в точці С перпендикуляр до перетину  з  дугою  півкола в точці К. Оскільки КС — ви­сота прямокутного трикутни­ка АКВ, проведена до гіпотенузи,  то , СК  — шуканий відрізок.

4.     Побудуйте трикутник за сторонами а, b та бісектрисою l_с.

Розв'язання

Аналіз показує, що якщо провести пряму, паралельну бісектрисі CL = l_c, і продовжи­ти сторону ВС до перетину з цією прямою в точці D, то утворюється рівнобедрений трикутник ACD. Нехай AD = х. Оскільки трикутники BCL і BDA подібні, то  або , .

Побудувавши відрізок AD, можна побудувати трикутник CDA, а потім і трикутник ABC.

5.     Побудуйте трикутник за кутом В, стороною а, та сумою сторін b + с.

Розв'язання

Розглянемо трикутник BCD, в яко­му ВС = а, BD=b+c, DBC = b. Аналіз показує, що точка А рівновіддалена від точок D і С. Отже, вона належить осі симетрії відрізка CD.

6.     Побудуйте квадрат з даним цен­тром О, якщо дві паралельні сторони квадрата (або їх продовження) про­ходять через дані точки М і N (пря­ма MN не містить точки О).

Розв'язання

Зауважимо, що квадрат — центрально-симетрична фігура. Побу­дуємо точки М' і N', симетричні точ­кам М і N відносно центра О. Тоді прямі MN' і NM' містять протилежні сторони шуканого квадрата. Подальша побудова є очевидною.

7.     Дано коло і його центр О. Точки А і В лежать поза колом. По­будуйте, користуючись лише цир­кулем, точки перетину даного кола з прямою АВ.

Розв'язання

Візьмемо пряму АВ за вісь си­метрії і побудуємо коло, симетрич­не даному. Його центр — точка пе­ретину кіл з центрами в точках А і В та радіусами відповідно АО і ВО. Перетин цього кола з даним — шу­кані точки С і D.

8.     Побудуйте   рівносторонній трикутник ABC так, щоб його вер­шини лежали на трьох заданих па­ралельних прямих.

Розв'язання

Припустимо, що ми побудували трикутник ABC так, що його верши­ни лежать на трьох заданих паралель­них прямих. При повороті на 60° з центром А точка В перейде в точку С. Зрозуміло, що й пряма, на якій ле­жала точка В, теж пройде після такого повороту через С. Отже, точка С, а з нею і сторона АС, нам відомі. По­ дальша побудова очевидна.

9.     У колі проведено два радіуси. Побудуйте хорду, яка ділиться цими радіусами на три рівні частини.

Розв'язання

Нехай ОА і ОВ — два дані радіуси. Продовжимо відрі­зок АВ в обидва боки — так, що АС = BD = АВ. ОС і OD пе­ретинає коло в точках Е і F. Очевидно, що EF — шукана хорда.

10.У даний трикутник впишіть квадрат так, щоб дві його вершини ле­жали на основі трикутника, а дві інші — на бічних сторонах.

Розв'язання

Побудуємо квадрат М₁N₁К₁L₁, дві вершини якого лежать на основі АС, третя — на стороні АВ. Тепер проведемо пряму AN₁ до перетину зі стороною ВС у точці N. Квадрат MNKL, гомотетичний квадрату М₁N₁К₁L₁ з центром гомотетії А, й буде шуканим.

11.Знайдіть на сторонах АС і АВ трикутника ABC такі точки Е і F, що CE = EF = FB.

Розв'язання

Відкладемо довільно BF₁ = CE₁ Через F₁ прове­демо пряму паралельно ВС. На цій прямій знайдемо точку К таку, що Е₁К = СЕ₁. Проведемо KN || BF₁.

Оче­видно, що в чотирикутнику CE₁KN три сторони рівні: CE₁ = E₁K = KN. Промінь СК перетинає АВ в одній з шуканих точок F. Прове­демо через F пряму, пара­лельну Е₁К. Дістанемо другу шукану точку Е. Справді, чотирикутники CE₁KN і CEFB гомотетичні з центром гомотетії С. Оскільки СЕ₁ = Е₁К = KN, то СЕ = EF = FB.

12.Побудуйте трикутник ABC за на­ступними елементами: а+b, а+с, А.

Розв'язання

Побудуємо трикутник AKN так, що KAN = A, AN = а+b, АК = а+с.

Залишається на сторонах AN і АК знайти такі точки С і В, щоб                  NC = CB –BK. А це можна зробити так, як і в попередній  задачі.

13.За допомогою циркуля та лі­нійки побудуйте трикутник, якщо на площині дані його точка перетину медіан, ортоцентр та одна з вершин.

Розв'язання

Нехай ABC — шуканий трикутник, в якому відома вершина А, точка пере­тину медіан М та ортоцентр Н. Спо­чатку знаходимо А₁  — середину ВС,

відобразивши точку А відносно М з коефіцієнтом — . Через А₁ перпен­дикулярно до АН проводимо пряму ВС. Відобразивши Н відносно М з коефіцієнтом —     знаходимо центр описаного кола О (МН — пряма Ейлера). Знаючи його , радіус ОА, на прямій ВС знаходимо вершини В і С.

14.Використовуючи ли­ше лінійку, проведіть пер­пендикуляр з точки М кола на діаметр АВ цього кола (М ≠ А, М ≠ В).

Розв'язання

З точок А та В проведе­мо два промені, що перети­нають коло в точках С і D (C ≠ D), які лежать в одній півплощині від АВ, причому самі промені перетинають­ся в точці N (N = ACBD), що лежить зовні кола. Спо­чатку проведемо перпенди­куляр до АВ з точки N. Оскільки ВС і AD — висоти трикутника ABN, то пряма NH перпендикулярна діаметру АВ, де Н — точ­ка перетину висот ВС і AD. Нехай L і К — точки перетину побудованого перпендикуляра NH з колом, X— точка перетину МК з АВ, a Y — точка перетину LX з колом. Тоді MY AB.

Задачі для самостійного розв'язування

15.Побудуйте трикутник ABC за кутом А, бісектрисою l_a та висотою h_c.

16.Побудуйте трикутник за трьома медіанами.

17.Побудуйте коло, дотичне до даного кола і даної прямої у даній точці.

18.Побудуйте трикутник ABC за кутом А, висотою h_a, медіаною m_a.

19.Побудуйте трикутник ABC за R, r, a.

21.Побудуйте трикутник ABC за стороною а, кутом А, бісектрисою l_a.

22.Побудуйте трикутник ABC, якщо відомі положення вершин В і С,
а також пряма l, якій належить бісектриса l_а.

23.Побудуйте трикутник за серединами двох його сторін і основою висоти, проведеної до третьої сторони.

24.Побудуйте паралелограм ABCD за положенням вершин А і С і відстаням а і b вершин В і D до даної точки М.

25.Побудуйте рівносторонній трикутник, у якого вершини лежать на трьох даних концентричних колах, а центр — на даній прямій, що перети­нає ці кола.

26.Дано дві прямі, що перетинаються, і коло. Побудуйте коло, що дотикається до цих прямих і до даного кола.

27.Побудуйте квадрат так, щоб дві його вершини лежали на даній прямій, а дві інші - на даному колі.

28.Удане коло з центром О вписано трикутник ABC. Однією лінійкою проведіть у трикутнику: а) медіану AM; б) висоту АН; в) бісектрису AL.

29.ABCD — квадрат. Точки Е i F лежать відповідно на сторонах ВС
і CD так, що EAF = 45°. Опустіть із точки А перпендикуляр на EF з до­помогою однієї лінійки.

Урок

Урок № 45

Тема. Задачі на побудову

Мета: засвоїти особливості розв’язування задач на побудову, зміст понять «елементарна побудова» та алгоритми розв’язання основних задач на побудову.

Сформувати вміння:

  виконувати елементарні побудови із використанням лінійки та циркуля;

  відтворювати алгоритми розв’язання основних задач на побудову та виконувати дії, що передбачені цими алгоритмами.

Тип уроку: застосування знань, умінь та навичок.

Наочність і обладнання: набір демонстраційного креслярського приладдя; таблиці.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

II. Перевірка домашнього завдання

Якщо домашнє завдання — це самостійна робота, то збираємо зошити на перевірку; для корекції — або попередньо записане на дошці, або роздане у вигляді ксерокопій правильне розв’язання задач самостійної роботи.

III. Мотивація навчальної діяльності. Формулювання мети й завдань уроку

На цьому етапі доречним буде слово вчителя про практичне застосування геометрії в професійній діяльності людини, наприклад для виконання креслень. Отже, цілком логічним є вивчення питання про розв’язування задач на побудову: їх особливості та способи розв’язання, види найпростіших задач.

Останнє твердження і є по суті формулюванням основної дидактичної мети уроку.

IV. Актуалізація опорних знань

Учні вже знайомі з курсу математики 5 класу з розв’язанням задачі на побудову трикутника за трьома сторонами. Тому перед вивченням нового матеріалу можна звернутись до знань і вмінь, набутих у 5 класі, і запропонувати до розв’язання задачу: «Побудуйте трикутник зі сторонами 2 см, 3 см, 4 см».

Після виконання нескладної побудови аналізуємо, які дії привели до розв’язання задачі, в чому полягає суть розв’язання задачі, чим відрізняється розв’язування цієї задачі від розв’язаних раніше.

V. Засвоєння нових знань

План вивчення нового матеріалу

1°. Що таке задача на побудову.

2°. Елементарні побудови за допомогою циркуля і лінійки.

3°. Опорні задачі на побудову та алгоритми розв’язання основних задач на побудову.

Методичний коментар

Роботу з вивчення нового матеріалу можна провести у формі самостійної роботи учнів з текстом підручника (за алгоритмом роботи з текстом) або за планом (див. вище). Головне, що повинні усвідомити учні:

1) обмеження на побудови, які можна виконувати за допомогою циркуля та лінійки (елементарні побудови);

2) розв’язанням задачі є список послідовних елементарних побудов;

3) основні задачі на побудову можна використовувати як основу для розв’язування більш складних задач, тому хід їх розв’язання слід запам’ятати.

Під час вивчення нового матеріалу звертаємося до таблиці.

Таблиця

VI. Первинне усвідомлення нового матеріалу

Виконання усних вправ

1. Опишіть, як поділити:

а) даний відрізок на чотири рівні відрізки;

б) даний кут у відношенні 1 : 3.

2. Опишіть, як побудувати:

а) кут 45°; б) кут 135°.

Виконання письмових вправ

1. Дано відрізки a і b, причому a<b. Побудуйте відрізок завдовжки:

а) 3a; б) b − a; в) a+2b.

2. Побудуйте трикутник ABC за такими даними:

а)

б) AB = 6 см, BC =10 см, AC = 8 см;

в)

3. Дано трикутник. Побудуйте всі його:

а) медіани;

б) бісектриси;

в) висоти, якщо даний трикутник гострокутний;

г) висоти, якщо даний трикутник тупокутний.

Перед виконанням побудов слід вимагати від учнів виконання аналізу побудови, зокрема, спираючись на список основних задач на побудову, з’ясувати, які із основних задач і в якому порядку слід розв’язати, а потім уже виконувати побудову.

На уроці розв’язуються найпростіші задачі на побудову (хід розв’язання яких визначається означенням або властивістю даної фігури), тому від учнів не вимагається виконувати письмово аналіз, доведення та дослідження.

VIII. Підсумки уроку

Яка із задач не є основною задачею на побудову:

а) побудова кута, що дорівнює даному;

б) побудова середини даного відрізка;

в) побудова відрізка, що вдвічі більший за даний;

г) побудова прямої, яка перпендикулярна до даної прямої?

VIII. Домашнє завдання

Домашня практична робота

1. Дано гострі кути α і β, причому α<β. Побудуйте кут із градусною мірою:

а) 0,5β; б) α+β; в) 2β−α.

2. Побудуйте трикутник ABC за такими даними:

а)

б) AB = 3 см, BC = 5 см, AC = 6 см;

в)

3. Побудуйте:

а) відрізок, який дорівнює відстані між двома даними паралельними прямими;

б) дотичну, що проходить через дану точку кола.

Джерела:

1. Уроки геометрії. 7 клас./ С. П. Бабенко — Х.: Вид. група «Основа», 2007.— 208 с.