ЗАДАЧІ НА ПОБУДОВУ

ЗАДАЧІ НА ПОБУДОВУ (ДОСТАТНІЙ ТА ВИСОКИЙ РІВЕНЬ)

1.     Побудуйте трикутник ABC за кутом А і висотами h_b і h_c.

Розв'язання

Побудуємо прямокутний три­кутник АН₂В з катетом ВН₂ = h_b і гострим кутом А. Дістанемо сто­рону АВ. Потім будуємо прямо­кутний трикутник АСН_г з гострим кутом А і катетом  СН₃ = h_c. Діста­немо сторону АС. Трикутник ABC — шуканий.

2.     Побудуйте, циркулем і лінійкою трикутник за двома даними сторонами a і b (b > a), якщо відомо, що кут проти однієї з них втричі більший від кута проти другої.

Розв'язання

Припустимо, що трикутник ABC по­будовано, B=3A. Проведемо з точки В до прямої АС відрі­зок BE такий, що ABE = BAC. Тоді трикутник ВСЕ буде рівнобедреним, тому  АЕ = ВЕ. Трикутник ВСЕ також рівнобедрений, оскільки BEC = CBE = 2 BAC, тому ВС = СЕ = а. Отже, АЕ = ЕВ = b–а, оскільки АС = b.

У трикутнику ВСЕ СВ = СЕ – а, ЕВ = b – а, тому його можна побудувати, користуючись циркулем і лінійкою. Після цього на продовженні сторони СЕ відкладемо відрізок ЕА = b – а. Трикутник ABC — шуканий.

3.     Нехай а, b, с — довжини даних відрізків. Побудуйте відрізок: а) ; б) .

Розв'язання

а) На різних сторонах кута відкладемо   відрізки   АВ = с, BD = b,   AC = a.    Проведемо пряму DE, паралельну прямій ВС. Тоді відрізок СЕ — шука­ний: .

б) На прямій MN відкла­даємо відрізки АС = а, ВС = b. На відрізку АВ як на діаметрі будуємо півколо і проводимо в точці С перпендикуляр до перетину  з  дугою  півкола в точці К. Оскільки КС — ви­сота прямокутного трикутни­ка АКВ, проведена до гіпотенузи,  то , СК  — шуканий відрізок.

4.     Побудуйте трикутник за сторонами а, b та бісектрисою l_с.

Розв'язання

Аналіз показує, що якщо провести пряму, паралельну бісектрисі CL = l_c, і продовжи­ти сторону ВС до перетину з цією прямою в точці D, то утворюється рівнобедрений трикутник ACD. Нехай AD = х. Оскільки трикутники BCL і BDA подібні, то  або , .

Побудувавши відрізок AD, можна побудувати трикутник CDA, а потім і трикутник ABC.

5.     Побудуйте трикутник за кутом В, стороною а, та сумою сторін b + с.

Розв'язання

Розглянемо трикутник BCD, в яко­му ВС = а, BD=b+c, DBC = b. Аналіз показує, що точка А рівновіддалена від точок D і С. Отже, вона належить осі симетрії відрізка CD.

6.     Побудуйте квадрат з даним цен­тром О, якщо дві паралельні сторони квадрата (або їх продовження) про­ходять через дані точки М і N (пря­ма MN не містить точки О).

Розв'язання

Зауважимо, що квадрат — центрально-симетрична фігура. Побу­дуємо точки М' і N', симетричні точ­кам М і N відносно центра О. Тоді прямі MN' і NM' містять протилежні сторони шуканого квадрата. Подальша побудова є очевидною.

7.     Дано коло і його центр О. Точки А і В лежать поза колом. По­будуйте, користуючись лише цир­кулем, точки перетину даного кола з прямою АВ.

Розв'язання

Візьмемо пряму АВ за вісь си­метрії і побудуємо коло, симетрич­не даному. Його центр — точка пе­ретину кіл з центрами в точках А і В та радіусами відповідно АО і ВО. Перетин цього кола з даним — шу­кані точки С і D.

8.     Побудуйте   рівносторонній трикутник ABC так, щоб його вер­шини лежали на трьох заданих па­ралельних прямих.

Розв'язання

Припустимо, що ми побудували трикутник ABC так, що його верши­ни лежать на трьох заданих паралель­них прямих. При повороті на 60° з центром А точка В перейде в точку С. Зрозуміло, що й пряма, на якій ле­жала точка В, теж пройде після такого повороту через С. Отже, точка С, а з нею і сторона АС, нам відомі. По­ дальша побудова очевидна.

9.     У колі проведено два радіуси. Побудуйте хорду, яка ділиться цими радіусами на три рівні частини.

Розв'язання

Нехай ОА і ОВ — два дані радіуси. Продовжимо відрі­зок АВ в обидва боки — так, що АС = BD = АВ. ОС і OD пе­ретинає коло в точках Е і F. Очевидно, що EF — шукана хорда.

10.У даний трикутник впишіть квадрат так, щоб дві його вершини ле­жали на основі трикутника, а дві інші — на бічних сторонах.

Розв'язання

Побудуємо квадрат М₁N₁К₁L₁, дві вершини якого лежать на основі АС, третя — на стороні АВ. Тепер проведемо пряму AN₁ до перетину зі стороною ВС у точці N. Квадрат MNKL, гомотетичний квадрату М₁N₁К₁L₁ з центром гомотетії А, й буде шуканим.

11.Знайдіть на сторонах АС і АВ трикутника ABC такі точки Е і F, що CE = EF = FB.

Розв'язання

Відкладемо довільно BF₁ = CE₁ Через F₁ прове­демо пряму паралельно ВС. На цій прямій знайдемо точку К таку, що Е₁К = СЕ₁. Проведемо KN || BF₁.

Оче­видно, що в чотирикутнику CE₁KN три сторони рівні: CE₁ = E₁K = KN. Промінь СК перетинає АВ в одній з шуканих точок F. Прове­демо через F пряму, пара­лельну Е₁К. Дістанемо другу шукану точку Е. Справді, чотирикутники CE₁KN і CEFB гомотетичні з центром гомотетії С. Оскільки СЕ₁ = Е₁К = KN, то СЕ = EF = FB.

12.Побудуйте трикутник ABC за на­ступними елементами: а+b, а+с, А.

Розв'язання

Побудуємо трикутник AKN так, що KAN = A, AN = а+b, АК = а+с.

Залишається на сторонах AN і АК знайти такі точки С і В, щоб                  NC = CB –BK. А це можна зробити так, як і в попередній  задачі.

13.За допомогою циркуля та лі­нійки побудуйте трикутник, якщо на площині дані його точка перетину медіан, ортоцентр та одна з вершин.

Розв'язання

Нехай ABC — шуканий трикутник, в якому відома вершина А, точка пере­тину медіан М та ортоцентр Н. Спо­чатку знаходимо А₁  — середину ВС,

відобразивши точку А відносно М з коефіцієнтом — . Через А₁ перпен­дикулярно до АН проводимо пряму ВС. Відобразивши Н відносно М з коефіцієнтом —     знаходимо центр описаного кола О (МН — пряма Ейлера). Знаючи його , радіус ОА, на прямій ВС знаходимо вершини В і С.

14.Використовуючи ли­ше лінійку, проведіть пер­пендикуляр з точки М кола на діаметр АВ цього кола (М ≠ А, М ≠ В).

Розв'язання

З точок А та В проведе­мо два промені, що перети­нають коло в точках С і D (C ≠ D), які лежать в одній півплощині від АВ, причому самі промені перетинають­ся в точці N (N = ACBD), що лежить зовні кола. Спо­чатку проведемо перпенди­куляр до АВ з точки N. Оскільки ВС і AD — висоти трикутника ABN, то пряма NH перпендикулярна діаметру АВ, де Н — точ­ка перетину висот ВС і AD. Нехай L і К — точки перетину побудованого перпендикуляра NH з колом, X— точка перетину МК з АВ, a Y — точка перетину LX з колом. Тоді MY AB.

Задачі для самостійного розв'язування

15.Побудуйте трикутник ABC за кутом А, бісектрисою l_a та висотою h_c.

16.Побудуйте трикутник за трьома медіанами.

17.Побудуйте коло, дотичне до даного кола і даної прямої у даній точці.

18.Побудуйте трикутник ABC за кутом А, висотою h_a, медіаною m_a.

19.Побудуйте трикутник ABC за R, r, a.

21.Побудуйте трикутник ABC за стороною а, кутом А, бісектрисою l_a.

22.Побудуйте трикутник ABC, якщо відомі положення вершин В і С,
а також пряма l, якій належить бісектриса l_а.

23.Побудуйте трикутник за серединами двох його сторін і основою висоти, проведеної до третьої сторони.

24.Побудуйте паралелограм ABCD за положенням вершин А і С і відстаням а і b вершин В і D до даної точки М.

25.Побудуйте рівносторонній трикутник, у якого вершини лежать на трьох даних концентричних колах, а центр — на даній прямій, що перети­нає ці кола.

26.Дано дві прямі, що перетинаються, і коло. Побудуйте коло, що дотикається до цих прямих і до даного кола.

27.Побудуйте квадрат так, щоб дві його вершини лежали на даній прямій, а дві інші - на даному колі.

28.Удане коло з центром О вписано трикутник ABC. Однією лінійкою проведіть у трикутнику: а) медіану AM; б) висоту АН; в) бісектрису AL.

29.ABCD — квадрат. Точки Е i F лежать відповідно на сторонах ВС
і CD так, що EAF = 45°. Опустіть із точки А перпендикуляр на EF з до­помогою однієї лінійки.